Un curso de álgebra. Gabriel Navarro OrtegaЧитать онлайн книгу.
Definimos 0! = 1 y n! = 1 · 2 … (n − 1) · n para n > 0. Si 0 ≤ a ≤ n, definimos
Si 1 ≤ a < n, probar que
Deducir que
21. Probar que el producto de k naturales consecutivos es divisible por k!
22. (Binomio de Newton) Si a, b ∈ ℤ y n > 0, entonces
23. Sea p un primo, y sea 1 ≤ k < p. Probar que p divide a .
(Ayuda: Sabemos que p divide a , pero p no puede dividir a (p − k)!k!).
24. Probar las siguientes afirmaciones:
(i) Si n es impar, entonces n2 − 1 es divisible por 8.
(ii) Si a ≠ 0 es un entero, entonces a divide a (1 + a)n − 1.
(iii) Si n es cualquier entero, entonces 4 no divide a n2 + 2.
25. Si a, b, c son enteros no cero y mcd(a, c) = 1, probar que mcd(a, b) = mcd(a, bc).
26. Recordar que si a ∈ ℝ − ℚ, entonces a se dice irracional.
(i) Sean a ∈ ℚ y b ∈ ℝ irracional. Probar que a + b es irracional. Si a ≠ 0, probar que ab es irracional.
(ii) Si n ∈ ℕ, probar que es irracional.
(iii) Probar que es irracional.
(iv) Probar que no se puede escribir de la forma
, donde r, s ∈ ℚ.
27. Comprobar que existen números irracionales a, b ∈ ℝ tales que ab es racional.
(Ayuda: Si no es racional, volver a elevar a
).
28. Si z = a + bi, entonces el conjugado complejo de z es = a − bi. El módulo de z es
, probar lo siguiente:
(i) z1z2 = z2z1.
(ii) z1(z2z3) = (z1z2)z3.
(iii) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
29. Hallar las ráıces 8-ésimas de la unidad.
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