Высшая математика. Шпаргалка. Аурика ЛуковкинаЧитать онлайн книгу.
заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:
3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат
Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояние р (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол α (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние
полярный угол α
причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.
Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение
Рис. 2
После деления получается нормальное уравнение данной прямой:
Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.
Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.
При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х0, у0), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х0, у – у0 т. е. справедливо следующее х = х* + х0, у = у* + у0 или х* = х – х0, у* = у – у0 (* новые координаты точки).
При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):
x = x* cosα – y* sinα;
y = x* sinα + y* cosα
или
x* = x cosα + y sinα;
y* = – x sinα + y cosα.
4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.
Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х2 + у2 = R2, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:
(х – а)2 + (у – b)2 = R2.
Чтобы уравнение Ах2 + Вх + Ау2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х2 и у2 были равны, чтобы В2 + С2 – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой