Репетитор по математике. Алгебра. М. Л. ФартушнякЧитать онлайн книгу.
(квадрат разности)
3. (a-b) (a+b) =a2-b2 (разность квадратов)
4. (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 (куб суммы)
5. (a-b) 3=a3—3a2b+3ab2-b3 (куб разности)
6. (a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3 (сумма кубов)
7. (a-b) (a2+ab+b2) =a3-b3 (разность кубов)
Примеры: (2ma2 +0.1nb2) 2 = 4m2a4 +0.4mna2b2 +0.01n2b4
(5x3 – 2y3) 2 = 25x6 – 20x3y3 +4y6
(0.2a2b + c3) (0.2a2b – c3) = 0.04a4b2 – c6
(5ab2 +2a3) 3 = 125a3b6 +150a5b4 +60a7b2 +8a9
Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.
Деление многочленов.
1. Деление многочлена на одночлен.
Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.
Схема:
2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.
Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.
Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.
Например, разделим 6x3 +2x2 – x +12 на 3x2 – 2x +6
Запись деления:
1.Делим первый член делимого 6x3на первый член делителя 3x2. Результат 2x – первый член частного.
2.Умножаем полученный член на делитель 3x2 – 2x +6, результат 6x3 – 4x2 +12x записываем под делимым.
3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x2 – 13x +12
4. Первый член остатка 6x2 делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.
5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x2 – 4x +12 подписываем под первым остатком.
6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.
.
Целая часть: 2x +2
Остаток: – 9x
Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.
Целая часть: 3t2 – 7t +5
Остаток: 34t – 37
Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена xm±am на x±a.
1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. xm-am делится на x-a
Примеры.
(x2-a2): (x-a) =x+a
(x3-a3): (x-a) =x2+ax+a2
(x4-a4): (x-a) =x3-ax2+a2x+a3
(x5-a5): (x-a) =x4-ax3+a2x2+a3x+a4
2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. xm-am при чётном