Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса. Марио ЛивиоЧитать онлайн книгу.
Платон, математические истины относятся не к окружностям, треугольникам и квадратам, которые можно нарисовать на клочке папируса или начертить палочкой на песке, а к абстрактным объектам, которые пребывают в идеальном мире – вместилище подлинных форм и совершенств. Этот платоновский мир математических понятий отделен от мира физического, и именно там, в этом первом мире, верны математические суждения наподобие теоремы Пифагора. Прямоугольный треугольник, который мы чертим на бумаге, лишь несовершенная копия, приближение к истинному, абстрактному треугольнику.
Рис. 9
Другая фундаментальная проблема, которую Платон подробно исследовал, – это природа математического доказательства как процесса, основанного на аксиомах и постулатах. Аксиомы – это основополагающие утверждения, истинность которых считается самоочевидной. Например, первая аксиома евклидовой геометрии гласит: «Между любыми двумя точками можно провести прямую». В «Государстве» Платон прекрасно сочетает понятия о постулатах и о мире математических форм.
…Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения… Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором (курсив мой. – М. Л.).
Представления Платона заложили основу платонизма – такое название получили его идеи в философии вообще и в проблеме природы математики в частности[19]. Платонизм в самом широком смысле слова предполагает веру в некие вечные, незыблемые абстрактные объекты, абсолютно независимые от эфемерного мира, которые мы воспринимаем посредством органов чувств. Согласно платонизму, реальное существование математических понятий – столь же объективный факт, сколь и существование самой Вселенной. Существуют не только натуральные числа, окружности и квадраты, но и мнимые числа, функции, фракталы, неевклидовы геометрии, бесконечные множества, а также самые разные теоремы, которые их описывают. Короче говоря, каждое математическое понятие или «объективно истинное» суждение (подробнее об этом чуть позже), когда бы то ни было сформулированные или возникшие в чьем-то воображении, и бесконечное количество
Интересное обсуждение платонизма и его места в философии математики см. в книгах Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell 1945, Tait 1996. Превосходное популярное изложение можно найти в Davis and Hersh 1981, Barrow 1992.