Модельное мышление. Как анализировать сложные явления с помощью математических моделей. Скотт ПейджЧитать онлайн книгу.
определять общий упорядоченный список альтернатив). Далее Эрроу доказывает, что если разрешены любые предпочтения, то коллективное упорядочение списка может и не существовать[21].
Кроме того, логика раскрывает парадоксы. Применение моделей позволяет продемонстрировать возможность ситуации, когда в каждой подгруппе содержится более высокий процент женщин, чем мужчин, но в общей совокупности наблюдается более высокий процент мужчин. Этот феномен известен как парадокс Симпсона. И он действительно имел место: в 1973 году Калифорнийский университет в Беркли зачислил на большинство факультетов больше студенток, чем студентов. Однако в целом университет принял больше студентов мужского пола. Модели также показывают, что чередование двух проигрышных ставок может обеспечить положительный ожидаемый результат (Парадокс Паррондо); или что включение дополнительной вершины в граф позволяет сократить общую длину ребер, необходимых для соединения всех вершин[22].
Не следует отбрасывать эти примеры как математические новшества. Каждый из них имеет практическое применение: усилия по увеличению численности женщин могут иметь обратный эффект, сочетание проигрышных инвестиций способно обеспечить выигрыш, а общую длину сети электрических линий, трубопроводов, Ethernet-линий или дорог можно сократить путем добавления дополнительных узлов.
Логика также раскрывает математические зависимости. Исходя из аксиом Эвклида, треугольник однозначно определяется любыми двумя углами и стороной или любыми двумя сторонами и углом. Стандартные предположения о поведении потребителей и компаний позволяют сделать вывод, что на рынках с большим количеством конкурентов цена равна предельным издержкам. Некоторые результаты оказываются неожиданными, как в случае парадокса дружбы, который гласит, что в любой сети дружеских связей у друзей человека больше друзей, чем у него самого.
Этот парадокс объясняется тем, что у очень популярных людей больше друзей. На рис. 2.1 показана сеть дружеских связей в клубе карате, описанная Уэйном Закари. У человека, представленного черным кружком, шесть друзей, которые обозначены серыми кружками. У его друзей в среднем семь друзей, отмеченных белыми кружками. В целом в сети двадцать девять из тридцати четырех человек имеют друзей, которые пользуются большей популярностью, чем они сами[23]. Далее вы увидите, что если сделать ряд других допущений, то друзья большинства людей в среднем будут также более красивыми, добрыми, богатыми и умными, чем они сами.
Рис. 2.1. Парадокс дружбы: у друзей человека больше друзей, чем у него самого
И последнее, самое важное: логика раскрывает обусловленность истины. Политик может утверждать, что снижение налогов увеличивает налоговые поступления в государственный бюджет, стимулируя экономический рост. Простейшая модель, в которой доход исчисляется как произведение налоговой ставки на уровень дохода,
См. Arrow, 1963. Общий упорядоченный список альтернатив возможен при ограничении индивидуальных списков предпочтений. Например, если бы у каждого человека был один и тот же список предпочтений, то существовал бы и общий список. В целом у нас нет способа преобразовать индивидуальный список предпочтений в согласованный общий список.
Лучшие умы моего поколения, несомненно, заметили, что я позаимствовал фразу «это действительно было» из поэмы Howl («Вопль»). См. Bickel, Hammel, and O’Connell, 1975.
На представленном ниже рисунке показан один из множества примеров того, как включение дополнительной вершины приводит к сокращению общей длины ребер графа. На графе слева четыре вершины соответствуют углам квадрата, а на графе справа добавлена пятая вершина в центре. Если длина стороны квадрата равна 1, общая длина ребер левого графа равна 3, а общая длина ребер правого графа равна 4 × 0,71, что меньше 3.
Парадокс Симпсона возникает, когда заявления на факультеты с более высоким процентом зачисления подает больше абитуриентов женского пола, чем мужского. Например, рассмотрим университет, в котором есть медицинская и ветеринарная школы. Предположим, в медицинскую школу подают заявления 900 абитуриентов мужского пола, и 480 (или 53 процента) из них зачисляются, и 300 абитуриентов женского пола, и 180 (или 60 процентов) из них зачисляются, а в ветеринарную школу подают заявления 100 абитуриентов мужского пола, и 20 (или 20 процентов) из них зачисляются, и 300 абитуриентов женского пола, и 90 (или 30 процентов) зачисляются. В каждой школе на обучение принято больше женщин, но в целом зачислено 50 процентов мужчин (500 из 1000) и только 45 процентов женщин (270 из 600).
В качестве примера парадокса Паррондо рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, первая ставка всегда проигрывает 1 доллар, а вторая ставка проигрывает 2 доллара в любом периоде, номер которого не делится на три, и выигрывает 3 доллара в периоды 3, 6, 9, 12 и так далее. Каждая ставка обеспечивает ожидаемый проигрыш, но если вы будете делать вторую ставку только в те периоды, когда она выигрывает, а первую ставку – в остальные периоды, то будете выигрывать по 1 доллару каждые три периода.
См. Kooti, Hodas, and Lerman, 2014.