Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов. Роман СиренкоЧитать онлайн книгу.
известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.
Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:
σ = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Преобразуем первое выражение:
σ = ½σx(1 + cos2α) + ½σy(1 – cos2α) + τxsin2α
После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:
Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами
Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.
13. Объемно-напряженное состояние материала
Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ1, σ2, σ3.
Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ1 и σ2.
σα = σ1cos2α + σ2cos2(α + 90°)
τα = 0,5σ1sin2α + 0,5σ2sin2(α + 90°)
Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:
σα = σ1cos2α + σ2sin2α
τα = 0,5(σ1 + σ2)sin2α
Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала,