Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства. Леонард МлодиновЧитать онлайн книгу.

      41

      Для интересующихся математикой приведем доказательство. Обозначим длину диагонали как с и начнем с допущения, что с можно выразить в виде дроби – скажем, m/n, в которой у m и n нет общих делителей, и они ни в коем случае не четные одновременно. Доказательство производится в три этапа. Первый: заметим, если с² = 2, значит, m² = 2n². Словами: m² – четное число. Поскольку квадраты нечетных чисел – нечетные, значит, и m само по себе должно быть четным. Второй: поскольку m иn не могут быть оба четными, значит, n должно быть нечетным. Третий: взглянем на уравнение m² = 2n² с другой стороны. Поскольку m – четное, его можно записать как 2q, при любом q. Если заменить m в m² = 2n² на 2q, получим 4q² = 2n², что то же самое, что и 2q² = n². Это означает, что n², а следовательно, и n – четное.

      Мы только что доказали, что если с можно записать как с = m/n, то m есть нечетное, а n – четное. Получается противоречие, а значит, исходное допущение, что с можно записать как с = m/n, – ложное. Такого рода доказательства, когда мы допускаем отрицание того, что стремимся доказать, а потом показываем, что отрицание ведет к противоречию, называется reductio ad absurdum. Это одно из изобретений пифагорейцев, и поныне полезное для математики.