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Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert PellicerЧитать онлайн книгу.

Estructuras de álgebra multilineal - Joaquín Olivert Pellicer


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alt="image"/> x es un conjunto.

      Definición 2.6: Sea x una clase, llamaremos image a la clase formada por los subcon5juntos de x, es decir,

image

      Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.

       Demostración :

      Tomemos z image image. Por definición de image, z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces image image Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema 2.1 nos conduce a que image es conjunto.

      Cuando x es un conjunto, el conjunto image se le suele llamar el conjunto partes de x.

      Teorema 2.8: image

       Demostración :

      Tomemos un elemento image, que será, por tanto, un conjunto. En consecuencia z G U. Por otra parte, cada elemento x de U es un conjunto y el Teorema 1.15 nos asegura que x C U. Por la Definición 2.6, se concluye que x image image

      Estudiemos ahora un tipo especial de clases formadas a partir de un solo elemento, entendiendo en este caso por “elemento” una clase o un conjunto. Estas nuevas clases jugarán un papel preponderante en la definición de par ordenado.

      Definición 3.1: {x} = {z : x z = }La clase {x} es llamada singulete de la clase x.

       Teorema 3.2:

      1º Si x es un conjunto, entonces, para cada y, y º {x} si y sólo si y = x.

       Si x es un conjunto, entonces {x} es un conjunto.

      3º {x} = image si y sólo si x no es un conjunto.

       Demostración :

      1º Tomemos y image {x}. Al ser x un conjunto es verdadero x G U. Por el Axioma de clasificación, y = x.

      2º Al ser x un conjunto, y image {x} es un conjunto contenido en x, y image x (pues al ser x = y podemos aplicar la Propiedad image de la Sección image). Por la Definición 2.6, y image image, es decir que {x} image image), en virtud de la Definición 1.14.

      Por otra parte, según vimos en el Teorema 2.7, image es un conjunto. Finalmente recurrimos al Teorema 2.1, que conduce a que {x} es un conjunto.

      3º Si x no es un conjunto es falso x image U y que z = x, ya que por el Axioma de clasificación z es conjunto. Entonces es verdadera la implicación x => z = x para todo z .

      Proposición 3.3: Si x es un conjunto, entonces image {x} = x y image {x} = x ; si x no es un conjunto image {x} = image y image {x} = image.

       Demostración :

      Si x es un conjunto, por el Teorema 3.2,1º, sólo tiene un elemento y = x, que es subconjunto de x. Entonces image {x} = x y image {x} = x ; .Potra parte, si x no es un conjunto, el Teorema 3.2,3º nos asegura que {x} image. En virtud del Teorema 2.4,

image

      Introduciremos a continuación un cuarto axioma :

       IV Axioma de unión

       Si x e y son conjuntos, entonces también lo es x y.

      Definición 3.4 : {xy} = {x} image {y}. Esta clase se dice que es un par no ordenado.

       Teorema 3.5:

      1º Si x e y son conjuntos, {xy} es conjunto, y dado z image {xy} si y sólo si z = x o z = y.

      2ºSi x ó y no son conjuntos, {xy} = .

       Demostración :

      1º En virtud del Teorema 3.2, {a;}, {y} son conjuntos; y por el Axioma de unión, {xy} es conjunto.

      2º Si uno de x ó y no es un conjunto, por ejemplo x {x} = , . En consecuencia,

      Con idénticos razonamientos se prueba los siguientes resultados :

       Teorema 3.6:

      1ºSix


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