Physikalische Chemie. Peter W. AtkinsЧитать онлайн книгу.

der folgenden Herleitung 2.5 werden wir zeigen, dass man Gl. (2.49a) verwenden kann, um den Druck eines idealen Gases zu berechnen, das eine reversible adiabatische Expansion ausführt.

Herleitung 2.5: Die Beziehung zwischen Druck und Volumen bei einer reversiblen adiabatischen Expansion

Im Anfangs- und um Endzustand des idealen Gases ist die Zustandsgleichung pV = nRT erfüllt, gleichgültig, auf welchem Weg die Zustandsänderung stattfindet. Daher ist

Es gilt allerdings T_A/T_E = (V_E/V_A)^l/c (siehe Gl. (2.49a)). Daher ist

Für ein ideales Gas gilt C_p,m – C_V,m = R (siehe Abschn. 2.2). Daraus folgt, dass

ist, und somit

und nach Umstellen

(2.50)

Dieses Ergebnis wird häufig in der Form pVγ = Konstante zusammengefasst.

Abb. 2.30 Eine Adiabate beschreibt die Abhängigkeit des Drucks vom Volumen bei der adiabatischen Volumenänderung eines Gases. Entlang einer Adiabate fällt der Druck steiler ab als entlang einer Isotherme, da bei der Adiabate die Temperatur abnimmt.

Für ein einatomiges ideales Gas ist (siehe Abschn. 2.1) und (wegen C_p,_m – C_V,m = R); folglich ist . Für ein Gas, dessen Moleküle aus mehreren Atomen bestehen und nicht linear sind (also neben den Translations- auch Rotationsfreiheitsgrade besitzen), ist C_V,m = 3R und C_p,m = 4R; folglich ist in diesem Fall . Die Kurven des Drucks als Funktion des Volumens bei einer adiabatischen Änderung nennt man Adiabaten. Ein Beispiel für einen reversiblen Prozess ist in Abb. 2.30 gezeigt. Wegen γ > 1 fallen Adiabaten stets steiler ab (p ∝ 1/Vγ) als die zugehörigen Isothermen (p ∝ 1/V). Die physikalische Begründung für diesen Unterschied ist, dass bei einer isothermen Expansion Wärmeenergie in das System hineinströmt, sodass seine Temperatur konstant bleibt. Aus diesem Grund ist der Druckabfall nicht so ausgeprägt wie bei einer adiabatischen Expansion.

Illustration 2.15

Argongas (mit ) bei 100 kPa dehnt sich reversibel und adiabatisch auf das Doppelte seines ursprünglichen Volumens aus. Der Druck im Endzustand ist dann

Bei einer isothermen Volumenverdopplung wäre der Enddruck gleich 50 kPa.

Schlüsselkonzepte

1 Die Temperatur eines Gases sinkt, wenn es eine adiabatische Expansion erfährt, bei der Arbeit verrichtet wird.

2 Eine Adiabate ist eine Kurve in einem Graphen, die die Variation des Drucks bei einem adiabatischen Prozess angibt.

Die wichtigsten Gleichungen auf einen Blick

Stichwort	Gleichung	Anmerkung	Nummer
Arbeit bei adiabatischer Expansion	w_ad = CVΔT	ideales Gas	Gl. (2.48)
Endtemperatur	T_E = T_A (V_A/V_E)^l/c	ideales Gas, reversible adiabatische Expansion	Gl. (2.49a)
	c = C_v,m/R		Gl. (2.49a)
			Gl. (2.49b)
Adiabate			Gl. (2.50)
	γ = C_p,m/C_V,m		Gl. (2.50)

Übungsteil Fokus 2 – Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

Wenn nicht anders angegeben, sollen alle Gase als ideal angenommen werden. Die thermochemischen Daten beziehen sich auf 298,15 K, wenn nicht anders vermerkt.

Die mit dem Symbol ‡ gekennzeichneten Aufgaben wurden von Charles Trapp und Carmen Giunta beigesteuert.

Abschnitt 2.1 – Grundbegriffe

Diskussionsfragen

D2.1.1 Beschreiben Sie die unterschiedlichen Definitionen der Begriffe System und Zustand in der Physikalischen

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